三角形，圆形，正方形

这是一个小学的小朋友都会的问题——多元一次方程。解的方式也很简单：就是配，把未知数一个一个约掉，最后求出来一个未知数，然后带入回去，一个一个求出所有的未知数。

面对更多的未知数的问题怎么办呢？那当然是慢慢配呗。那怎么去配，约掉未知数呢？解决这个问题方法很多，不过相较于求最大公倍数的方法，我们其实还有一个更快的方法。

高斯消元

方程也可以是矩阵！

来看下面这个二元一次方程：

$\left\{ \begin{aligned} 2x_1+x_2=3\\ 4x_1+3x_2=5 \end{aligned} \right.$

你应该能够熟练得用矩阵表达它了吧，就像这样：

$\left[\begin{matrix}2&1\\4&3\\\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\5\\\end{matrix}\right]$

但是呢，为了简化，我们后面会把这类矩阵简化成这种形式，它们被称作增广矩阵：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2&1\\ 4&3 \end{matrix}& \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right ]$

形成梯形！

开始之前，我们来说一下步骤：首先，我们需要先用第一行与下面的每一行进行加减，消去$x_1$并保留这一行。

然后用第二行与下面每一行进行加减，消掉$x_2$，并保留这一行。

以此类推，如果结果理想，我们就会在最后一行得到类似$x_n=b$的等式，然后返回向上依次带入，就能得到最终结果啦~

我们不如举个例子完成一下上述过程。但是上面的例子太简单啦，所以我们换一个三元一次方程入手：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2&1&0\\ 0&3&-1\\ 3&2&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right ]$

我们发现，第二行已经没有$x_1$项了，所以它的第一步已经完成了，所以甩到后面去，就像这样：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2&1&0\\ 3&2&1\\ 0&3&-1 \end{matrix}& \begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -6 \end{matrix} \end{array} \right ]$

然后，我们将第二行加上第一行的$-\frac{3}{2}$倍，我们就消掉了$x_1$：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2&1&0\\ 0&\frac{1}{2}&1\\ 0&3&-1 \end{matrix}& \begin{matrix} 3 \\ \frac{5}{2} \\ -6 \end{matrix} \end{array} \right ]$

好，然后我们将第三行加上第二行的-6倍，我们我们就消掉了$x_2$：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2&1&0\\ 0&\frac{1}{2}&1\\ 0&0&-7 \end{matrix}& \begin{matrix} 3 \\ -\frac{1}{2} \\ -21 \end{matrix} \end{array} \right ]$

所以我们在最后一行得到$-7x_3=-21$，所以$x_3=3$。

带入到第二行，得到$x_2=-1$。

这两个结果带入到第一行，得到$x_1=2$。

唔，结果可以这样表示（其实也就是完成了上述过程）：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right ]$

自由变量

其实实际情况根本不可能这么顺利，上面仅仅是一个完美的例子而已。比如，在实际情况中，化简到的最后形式变成了：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2&1&0&4\\ 0&\frac{1}{2}&1&0\\ 0&0&0&-7\\ 0&0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 3 \\ -\frac{1}{2} \\ -21\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]$

形成了上梯形之后，有效的等式只有三个(说明行之间线性相关啦)。那么此时，我们以往上带入的顺序，将它们叫做自由变量。

比如在这里，我们知道$x_4=3$，但是在上一行带入时卡住了，此时就需要将$x_3$定义为自由变量来表示$x_2$，即$x_2=-2x_3-1$。

回到第一行，发现表达$x_1$也可以用自由变量$x_3$表示，所以无需追加自由变量。方程有无穷多个解，且可以仅用一个自由变量表示。

没有结果！？

唔，其实还有这种可能：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&7&-1\\ 0&2&1\\ 0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right ]$

最后一行变成了$0=2$，这明显不可能成立！就是说，这个方程无解。

自小学开始

向观察，配凑的解方程方法说再见？作为走出小学的大学生，我们现在可以选择直接用分数硬凑啦。但不要忘记，高斯消元也只是解方程的一种模式而已，小学的目测来配凑其实也是正确的做法~