前言

国内的教材与教师很微妙，他们常常将一个简单的东西讲得极其复杂且玄学，让学生不明所以。在听隐函数求导时，刘老师成功的用意识流求导法让我一句话都没有听懂，所以，打算做一个简简单单的笔记，让刘老师无地自容。

再识$dx$与$dy$

在高中我们知道一个函数是这样求导的：

$f^{\prime}(x)=\tan \theta=\lim _{a \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

简单，直观：求导就是在这里的切线的斜率。

老师告诉我们：这里的$f^{\prime}(x)$也可以被表示为$\frac{d y}{d x}$。那这里的$d$是是什么意思呢？它代表微分。比如，$\displaystyle d x=\lim _{a \rightarrow x} x-a$，说简单点，就是$\Delta x$。

所以，$d y=\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。

以上，被称作一阶差分。同样的，这里的$\Delta$也是支持嵌套的，组成多阶差分：

$\Delta(\Delta y)=\Delta(f(x+\Delta x)-f(x))$

对于嵌套的多阶差分，表示为$\Delta^{n} y$。

我们将求导的$\frac{d y}{d x}$称作一阶差商，但在多阶求导时，分母的$x$并不是嵌套差分，而是$x$的$n$次方：$x^n$。所以，$n$阶求导的公式是：

$f(x)^{(n)}=\frac{\Delta^{n} y}{\Delta x^{n}}=\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$

直接上手

一个小例子

好，基础知识的构建结束。但现在，我们直接跳过隐函数的求导公式，用一个实际的例子来看看分别给$x$和$y$求导是怎么得出答案的。让我们先来看下面这个隐函数（我们先来计算$\frac{d y}{d x}$）：

$y^{3}+y^{2}-5 y-x^{2}=-4$

欧，这个例子简直糟糕透了，因为把x的平方放到一边再开方就结束了。

好，我们的第一步首先是进行只针对$x$求导，即等号两侧$\frac{d}{d x}$：

$\frac{d}{d x}\left(y^{3}+y^{2}-5 y-x^{2}\right)=\frac{d}{d x}(-4)$

这里出现问题了：很明显，如果需要对$y$进行$x$的求导，就需要将$y$表达成$x$，不过这里是隐函数，并不支持我们这样做(前面被划掉了的内容你应该没注意到吧)，所以只能进行保留（不过其他部分可以先求导）：

$\frac{d}{d x}\left(y^{3}+y^{2}-5 y\right)-2 x=0$

第一步完成，我们再整理一下：

$\frac{d}{d x}\left(y^{3}+y^{2}-5 y\right)=2x$

好，那我们现在来进行第二步，只对左侧进行针对$y$的求导，即$\frac{d}{d y}$。但是，我们没有对等号两边进行处理，凭什么进行针对$y$的求导呢？

蒋蒋！欢迎登场——求导公式：

$\frac{d}{d x}=\frac{d}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}\\ \text{ }$

这个公式要证明起来也很简单，小学的小朋友都会：约掉$dy$就行了。

好，让我们回到公式，将$\frac{d}{d x}$替换成$\frac{d}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$，得到：

$\frac{d}{d y}\left(y^{3}+y^{2}-5 y\right) \cdot \frac{d y}{d x}=2 x$

现在剩下的相信你已经会了，其实还是蛮简单的：

$\left(3 y^{2}+2 y-5\right) \cdot \frac{d y}{d x}=2 x$

得到：

$\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{3 y^{2}+2 y-5}$

还记得吗？

芜湖！我们已经完成了一次隐函数求导，教材上常常用$x^x$的求导作为例子，我们也来试试吧~

$y=x^x$

两边取自然对数，得到：

$\ln y=x \ln x$

两边进行$x$求导：

$\frac{d}{d x} \cdot \ln y=\ln x+1$

变换形式，对左侧进行$y$求导：

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{y}=\ln x+1$

整理一下：

$\frac{d y}{d x}=y(\ln x+1)$

带入y：

$\frac{d y}{d x}=x^x(\ln x+1)$

这是怎么一回事

好，我们现在已经知道了一种隐函数求导的方式，那么，为什么可以这样做呢？为啥这样就求导了呢？

还记得老师是怎么把你绕晕的吗？让我们复盘一下，教材在开始说了什么：

首先，一个由$x$和$y$组成的等式可以表示为$F\left(x,y\right)=0$。当我们可以将其转化为$y=f\left(x\right)$的时候，我们将其称为显函数，反之则为隐函数。

好，现在我们来接受一个定义：不同与我们之前说的针对$x$求导，我们将对仅包含$x$的项进行求导表示为：$F_x$。这可能有点抽象，我们来举个例子：$F\left(x,y\right)=0$ 为 $x^2+2y^2+1=0$得到：

$F_x=2x \qquad F_y=4y$

在求导之前，我们需要证明在点$P\left(x_0,y_0\right)$上，函数$F\left(x,y\right)=0$是可导的。此时，老师抛出了一个隐函数存在定理：

当函数在$P$点所在的领域中有连续的偏导数（一个变量关于另外一个变量的导数），且$F\left(x_0,y_0\right)=0$，$F_x\left(x_0,y_0\right)\neq 0$，那么函数就在$P\left(x_0,y_0\right)$可导。我们可以开始求导了，此时老师丢出一个公式：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

接着，老师会给出其推导公式：

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=0$

接下来，重磅介绍——偏导数符号（partial dee）：$\partial$

别急，这不是一个很复杂的概念：这个符号，代表着分子的扰动有多大程度得影响分母。其实这就是分数上下两者的差商：比如对于$y=x^2$来说，$\frac{\partial y}{\partial x}$就表示$x$的轻微扰动会多少得影响到$y$。很明显，$x$会将其$2x$倍的扰动影响到$y$。拓展一下，就是：

$\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}=f\left(x\right)^\prime$

好，让我们回到这个推导公式上。这个公式表达了什么呢？

$x$对$F\left(x,y\right)$的扰动等于$-k$倍的$y$对$F\left(x,y\right)$的扰动。这好像还是不太好理解，不过先别急，我们慢慢来。

首先，对于等式$F\left(x,y\right)$，$x$与$y$的变化都会对$F\left(x,y\right)$产生扰动，使之不等于0（那么此时，点$P$就离开了函数图像）。此时，如果$x$的变化与$y$的变化恰好达到一个比例，比如一边加一点，一边少一点，让$P$点的轻微移动也在函数图像上，那么这个比例就是这里的导数。

比如我们常见的正比例函数$y+kx=0$，$x$的轻微扰动会$k$倍得打破等式，只有$y$对等式的扰动是$x$的$-k$倍的时候，才能扳回$x$对等式的影响，让等式再次变成0。

所以这个等式也好理解了，$F(x,y)$中$x$对等式造成的扰动加上$y$造成的扰动等于0，而两者造成的扰动之间的关系就是我们所求的导数。

因为x只会因为$F(x,y)$中包含x的项造成影响，所以$\frac{\partial F}{\partial x}=\Delta x\cdot F_x$，同理$\frac{\partial F}{\partial y}=\Delta x\cdot F_y$。于是我们就得到了前面的公式：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

一些感想

相比于对微积分的初学者传授超前的概念，将微元比作影响或者扰动会更加令人理解。就像对于嵌套函数的求导一样，比起用超前的知识证明，不如用内函数对外函数的影响来解释。很多东西其实被诡异的数学专业用语复杂化了，让它们不够简单与直观。

在做这个笔记之前，我看了很多国内资料都没有搞。查阅资料时，一份英文的课件让我茅塞顿开：直观，简单——手把手，一步步教你怎么求导。这份英语课件没有困难的概念，没有高大上的原理，不墨迹，一道例题就让我完全明白了一切。

所以我想，其实我们的教学搞错了顺序，先证明再应用的方式或许在这里并不适用。所以，我也学习了这份英语课件，将顺序调过来讲解。所以，相信这时候的你肯定懂了隐函数的求导吧:)