子空间

怎样算是一个合格的空间？

一个合格的空间应该是闭合的，即本空间内的向量生成的向量也必定只在本空间。所以对于一个空间$A$的一些向量$a_n$生成的子空间$V$，也需要满足构成空间的条件：

①0向量属于$V$
②$V$内的任意两个向量$\alpha,\beta$相加，或者任意倍数，都必定在$V$内：即$\alpha+\beta\in V$且$\lambda\alpha\in V,\lambda\in R$

只要满足这两条，空间$V$就是空间$A$的子空间。

需要注意，由三个数字（即在三维空间内）组成的向量形成的二维平面，是三维空间$\mathbb{R}^3$的子空间而不是二维空间$\mathbb{R}^2$。这个平面其实是二维空间只是依托了三个坐标轴来生成而已所以以我的理解其实叫做二维空间也没错

列空间与行空间

列空间$Col(A)$，就是由矩阵的列向量所构造出的空间。

行空间$Row(A)$，就是由矩阵的行向量所构造出的空间。

一般为了简化，我们会把向量进行加减的转化，最终形成类似单位阵的梯形，构成类似基向量$basis$的结构，方便运算。

核空间

核空间$Nul(A)$也称零空间，是让空间$A$在线性映射下变为0向量的原像空间。零空间是更加普遍的说法，但为了与0向量形成的0维空间作区分，还是推荐用核空间表示。

方程$Av=0$中所有向量v的的集合，就是空间$A$的核空间。

不是很能理解的话，我们举个例子来说明吧~比如我们来计算空间$A$的核空间$Nul(A)$的基向量：

$A=\left[\begin{matrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\end{matrix}\right]$

我们计算$Av=0$，增广矩阵化简出来就是这样：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&-2&0&-1&3\\ 0&0&1&2&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]$

所以在其中，$x_5$,$x_4$,$x_2$是自由变量，我们得到解为：

$\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{matrix}\right]=x_2\left[\begin{matrix}2\\1\\0\\0\\0\end{matrix}\right]+x_4\left[\begin{matrix}2\\1\\0\\0\\0\end{matrix}\right]+x_5\left[\begin{matrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{matrix}\right]$

在三个自由变量$x_2$,$x_4$,$x_5$后面的三个向量，就是可以空间$A$的核空间的基向量。