重重重重重复的问题

假设有一天，优蒂夫给你找来了一大堆高斯消元的题让你解 $x$ 。但你发现，增广矩阵虚线左侧的部分是相同的，只有虚线右侧不一样，就像这样：

A\cdot x=b\\ \text{ }\\ A=\left[\begin{matrix}2&1\\4&3\\\end{matrix}\right]{,\ b}_1=\left[\begin{matrix}3\\5\\\end{matrix}\right]b_2=\left[\begin{matrix}3\\7\\\end{matrix}\right]\ b_3=\left[\begin{matrix}3\\9\\\end{matrix}\right]

好像很相同，但每个方程都需要单独解……这实在是太可恶了，我们能不能找到一些规律，来更快得解决这个问题呢？

简化问题的猜想

唔，要是矩阵有除法就好了……要是等式 $A\cdot x=b$ 两边同时除以 $A$ ，也就是同乘 $A^{-1}$ ，等式就能变成这样：

A^{-1}\cdot A\ \cdot x=A^{-1}\cdot b

因为 $A^{-1}\cdot A=1$ ，所以等式就变成了：

x=A^{-1}\cdot b

那么，只要知道 $A^{-1}$ ，问题就迎刃而解了……

很高兴得告诉你，矩阵的倒数是真实存在的！它们被称作逆矩阵。表示出来就是：

A^{-1}\cdot A=I

请注意，并不是所有矩阵都有逆矩阵！比如如果上面的方程无解或者有无穷多解，就无法使用 $x=A^{-1}\cdot b$ 来得到结果。

另外，因为单位矩阵 $I$ 是方阵，所以只有方阵才有逆矩阵。（如果不是方阵，有效行多于或少于了未知数个数，都会导致方程会出现无解或者有无穷多解的情况）

首先，我们需要把矩阵 $A$ 和 $I$ 并在一起，就像这样：

\left [ \begin{array}{c:cc} \begin{matrix} 2&1\\ 4&3 \end{matrix}& \begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

接下来，我们需要使用行变换来让左边的部分变成 $I$ 。

那么我们的第一步，就是将第一行的-2倍加在第二行上，变成这样：

\left [ \begin{array}{c:cc} \begin{matrix} 2&1\\ 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1&0 \\ -2&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

好家伙，右下角的数字直接就是1了，不需要除。

我们的第二步，将现在第二行的-1倍加到第一行上，变成：

\left [ \begin{array}{c:cc} \begin{matrix} 2&0\\ 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 3&-1 \\ -2&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

然后，再将第一行除以2，就完成啦：

\left [ \begin{array}{c:cc} \begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} \frac{3}{2}&-\frac{1}{2} \\ -2&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

那么我们右边的这部分，就是我们所谓的逆矩阵啦~

咦？为什么这样求出来的矩阵就是逆矩阵了呢？

我们在进行初等行变换的过程中，其实也可以是视作在对矩阵 $A$ 和 $I$ 同时进行操作，最终我们将两个矩阵变成了这样：

A\Rightarrow I\qquad I\Rightarrow A^{-1}

我们将 $A$ 变成了 $I$ ，也可以视作乘上了 $A^{-1}$ 。那么相同的，右边的矩阵也是乘上了 $A^{-1}$ 。所以，这样求出的矩阵当然就是逆矩阵啦~

逆矩阵的逆矩阵就是矩阵本身，就像一个数倒数的倒数就是自身：

{{(A}^{-1})}^{-1}=A

转置矩阵的逆矩阵也是逆矩阵的转置矩阵：

{{(A}^{T})}^{-1}={{(A}^{-1})}^{T}

单位矩阵的逆矩阵是自身：

I^{-1}=I

矩阵乘积的逆矩阵可以拆开：

(A\times B)^{-1}=A^{-1}\times B^{-1}