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怎么导都不变

我们学习到过一个神奇的函数：$y=e^x$：这个函数不仅处处可导，而且导完还是自己，就像这样：

$f\left(x\right)=f^\prime\left(x\right)$

以上就是一个微分方程，代表着在方程中表达了函数与其导数之间的关系。由于$f\left(x\right)=e^x$是以上方程的解，所以以后的微分方程中，我们的结果大多都是$u\left(x\right)\cdot\ e^{g\left(x\right)}$这个形式。

我先来，这个我会

在之前的学习中，我们已经掌握了一种微分方程的求解办法：我们把$dx$与$dy$放在等号两边，让$dx$那边只剩$x$的项，另一边只有$y$项，两边求导就完成了。

它们非常简单，比如下面这个等式：

$\frac{dy}{dx}=2xy$

我们只需要将其变成：

$\frac{1}{y}\ dy=2x\ dx$

两边反求导：

$\ln{y}+C_1=x^2+C_2$

结果就是：

$y=e^{x^2+C}$

请注意，这不是正确结果！我们希望最终结果的$C$并不出现在次幂上。因为$e^C$也是一个常数，所以我们真正的标准结果是：

$y=Ce^{x^2}$

齐次微分方程

热身结束！接下来我们面对的微分方程，将不能使用上面的方法获得答案。或许凑一凑其实还是能凑出来？

面对除开$y^\prime$的每项$x$与$y$的次数和都相等的方程，这类方程的求解是：将每项都变成只包含$(\frac{y^n}{x^m})^q$的形式。说起来可能难以理解，我们不如用个例子来展示一下。比如以下这个微分方程：

$y^2-xy\cdot y^\prime+x^2\cdot y^\prime=0$

这里，我们将每项除以$x^2$，变成：

$\frac{y^2}{x^2}-\frac{y}{x}\cdot y^\prime+y^\prime=0$

此时，我们就组成了只包含$\frac{y}{x}$的形式。那么这里，我们需要令$u=\frac{y}{x}$来简化：

$u^2-uy^\prime+y^\prime=0$

化简一下，就是：

$y^\prime=\frac{u^2}{u-1}$

唔，仿佛到了这里我们还是无从下手呢。原因很简单，因为我们并没有$y$与$u$的任何关系。所以这时，我们需要使用$y=ux$来替换$y$：

$y^\prime=(ux)^\prime=u^\prime x+ux^\prime=x\cdot \frac{du}{dx}+u$

带入之后，我们的等式就成为了关于$u$与$x$的微分方程：

$u+x\cdot \frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u-1}$

化简一下，得到：

$(1-\frac{1}{u})du=\frac{1}{x}dx$

两边反求导，得到：

$u-\ln{u}=\ln{x}+C$

两个ln没法处理，我们把两边都变成$e$次幂，得到：

$\frac{e^u}{u}=C\cdot x$

这时候将$u$替换成$\frac{y}{x}$，得到：

$\frac{e^\frac{y}{x}}{y}=C$

化简得到答案：

$y=Ce^{\frac{y}{x}}$

一阶线性微分方程

好，接下来是我们的重点了：我们需要求解形如$y^\prime+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$的方程。叫做一阶的原因，是$\textbf{y}$及其各阶导数都是一次的。

此类方程的特征在于，当$Q\left(x\right)=0$时，方程$y^\prime+P\left(x\right)y=0$是齐次的。我们可以令$Q\left(x\right)=0$来获取该方程的特解，以此作为我们解题的突破口。

比如我们来看出现在我们MTH019期末考试的微分方程题，两边求导会得到：

$y^\prime=2x+y$

让我们把它变成我们上面的形式：

$y^\prime-y=2x$

我们可以得到，$P(x)=-1$，$Q(x)=2x$。接下来，我们需要令$Q\left(x\right)=0$，来解这个一阶齐次微分方程：

$y^\prime-y=0$

非常简单！相信你一眼就看出来了，我们得到的特解是：

$y=Ce^x$

好，我们现在需要细化结果中的$C$是什么。因为在原方程中，$C$是会受$x$影响的，而不是一个常量。我们把这里的$C$重命名为$C(x)$，带入原式后求导。

$y^\prime=C^\prime(x)e^x+e^xC(x)$

好，我们现在需要把上面的这个式子和$y=C(x)e^x$一起带入原式：

$C^\prime(x)e^x+e^xC(x)-C(x)e^x=2x$

此时等式中的$C(x)$项一定可以被约掉。整理一下，就是：

$C^\prime(x)=\frac{2x}{e^x}$

然后反求导，得到$C(x)$（这个积分你一定会算吧）：

$C(x)=\frac{-2(x+1)}{e^x}+C$

好，让我们带入$y=C(x)e^x$，得到：

$y=Ce^x-2x-2$

大功告成！是不是非常简单？

以上是解答题需要如何书写具体步骤，在其他题你完全可以直接使用这个公式直接得出结果：

$y=Ce^{\int P\left(x\right)dx}+e^{-\int P\left(x\right)dx}\cdot\int{Q\left(x\right)e^{\int P\left(x\right)dx}}dx$

其中，我们一阶齐次微分方程的特解是：

$y=Ce^{\int P\left(x\right)dx}$

高阶微分方程

唔，我们现在还剩一种微分方程还没有学习，面对多阶的微分方程，目前只有三种题型是我们能够下手的：第一种是$y^{(n)}=f(x)$型，第二种是$y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$型，第三种是$y^{\prime\prime}=f(y,y^\prime)$型。

对于$y^{(n)}=f(x)$型，对等式两边进行$n$次积分就能获得答案。需要注意答案中包含多个$C$，需写为$C_1$,$C_2$的形式。

对于$y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$型，由于等式中不包含$y$，我们令$y^\prime=p$，这样$y^{\prime\prime}=p^\prime$以此来减少一层求导，得出$p$与$x$的等式之后，再积分一次就能获得答案啦。

对于$y^{\prime\prime}=f(y,y^\prime)$型，这里我们也令$y^\prime=p$，但我们令$y^{\prime\prime}=p\frac{dp}{dy}$，就比如这个微分方程：

$yy^{\prime\prime}-(y^\prime)^2=0$

我们改写之后就成为了：

$yp\frac{dp}{dy}-p^2=0$

两边同时除以$p$，整理一下得到：

$\frac{1}{p}dp=\frac{1}{y}dy$

两边积分得：

$y^\prime=p=C_1y$

所以结果为：

$y=C_2e^{C_1x}$