我们生活中拥有这种包含数字的表格，矩阵也可以被看作是一个只有数字的表格。或者说，矩阵是表格中的数字部分。

面对不同的数字表格，矩阵也有不同的分类。

特别的矩阵！

对于一些特殊的矩阵，有一些定义。

方阵：拥有的行数和列数相等的矩阵。

$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right]$

零矩阵($0$)：矩阵中所有的数都是0。

$\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$

对角矩阵：对角线上的值都不为0的，其余都为0的矩阵。其中，因为是对角线，所以对角矩阵一定是方阵。

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right]$

单位阵（$I$/$E$)：对角矩阵中，对角线上的值都为1的矩阵。

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

数量阵：对角矩阵中，对角线上的值都为一个数。

$\left[ \begin{matrix} 5 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]$

上三角阵：左下角部分为0的矩阵。

$\left[ \begin{matrix} 2 & 9 & 3 & 7 & 1\\ 0 & 3 & 6 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 9 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right]$

下三角阵：右上角部分为0的矩阵。

$\left[ \begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 5 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 5 & 3 & 0 & 0\\ 7 & 5 & 1 & 6 & 0\\ 4 & 1 & 7 & 3 & 1 \end{matrix} \right]$

其中，因为有对角线的要求，所以上三角阵和下三角阵都是方阵。上三角阵和下三角阵统称为三角阵。

不止表格？

别忘了，你的教材上可是写着大大的线性代数。仅仅包含数字的表格，怎么可能会出这么厚的书。（让我们排除这本书是数学分析的可能性）

向量

好的，让我们来再次定义一下矩阵：矩阵既可以是向量，也可以是操作向量的工具：

$\vec{a}=\left(2,1\right)\ \Rightarrow\ \ A=\ \left[\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right]$

在后续的内容中，向量将会以矩阵的形式表示。

空间

高中我们学过，通过对基向量的组合，创造出空间中任意一个向量。由向量生成的空间，我们叫做张成空间，用$span()$表示。其中，括号内为用于生成空间的向量。

比如，由二维平面的两个基向量：

$\ a=\ \left[\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right],b=\ \left[\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right]$

可以生成一个二维空间$\mathbb{R}^2$：

$span\left(a,b\right)=\mathbb{R}^2$

线性相关

丢进$span()$里的向量有多余的吗？多余的向量，就是其中如果有的向量可以被其他向量生成，那么这个向量就是多余的。这种情况下，这里所有的向量被称作线性相关，反之则被称为线性无关。

怎么去判断呢？首先就是从定义出发，那就是一个一个算每个向量是否能被其余向量生成。当然，这种方式非常低效，所以我们不妨用其他方式解决这个问题：

首先，是求解这些向量表示出0向量，如果线性无关，则只会出现全为0的解；如果线性相关，则会有无穷多个解。用矩阵的方式表达的话，我们要先把所有的向量$v$合成一个超大矩阵(每列都是一个向量)：

$V=\left[v_1,v_2,v_3,\cdots v_n\right]$

然后求解这个等式中的$X$矩阵(X矩阵由$x_1$到$x_n$的解组成)：

$V\cdot X=0$